在金融市场中，投资者最常用的两种交易策略是趋势和均值回归策略。如果一只股票表现出如下图所示的趋势行为，如果它在上一个时期已经上涨（下跌），那么它当期的价格更有可能上涨（下跌）。
这是标准普尔指数时间序列的一部分。这是一个趋势行为的例子。当股票在t时刻的收益以某种方式依赖于前一个时刻t-1的收益时，我们称其为自相关。在趋势机制中，收益是正相关的。
相反，均值回归股票的价格在其历史均值周围随机波动，并表现出回归历史均值的趋势。当存在均值回归时，如果价格在当期上升（下降），则更有可能在下一时期下降（上升）。
某股票的时间序列的一部分。这是均值回归行为的一个例子。这两个机制发生在不同的时间框架内（趋势行为通常发生在更大的时间范围内），它们通常是共存的。
在这两种情况下，当前价格都包含了有关未来价格的有用信息。事实上，交易策略只有在资产价格呈趋势或均值回归的情况下才能产生利润。否则，价格就会遵循所谓的随机行为（见下图）。
均值回归时间序列
股票价格很少表现出回归均值的行为。在绝大多数情况下，它们遵循随机行为。然而，均值回归价格序列可以通过组合不同的股票来合成一个协整投资组合，它显示了平稳性。虽然平稳性可以用各种著名的标准统计检验来识别，但在本文中，我将重点介绍一种基于所谓的赫斯特指数的强大分析类型，它与价格时间序列的分形指数有关。赫斯特指数提供了一种方法来衡量金融时间序列偏离随机行为的数量。这是一个非常简单的工具，可以帮助投资者决定采用哪种策略。
平稳性
现在，假设给定股票的价格，我用S(t)表示，表现出均值回归行为。下面的随机微分方程（SDE）可以更正式地描述这种行为：
描述均值回归过程的SDE。这里，符号：
分别为t时刻的股票价格，t时刻的维纳过程（或布朗运动），均值回归率θ，过程的平衡值或均值μ及其波动率σ。根据这个SDE，t+1时价格的变化正比于t时刻价格与均值之间的差。正如我们所看到的，如果价格比平均值小（大），价格变化更有可能是正（负）的。这种SDE的一个著名的特例是所谓的奥恩斯坦-乌伦贝克过程。
奥恩斯坦-乌伦贝克过程是以荷兰物理学家伦纳德·奥恩斯坦和荷兰裔美国物理学家乔治·尤金·乌伦贝克的名字命名的。两个最著名的（非）平稳性检验是迪基-福勒检验（DF）和增广迪基-福勒检验（ADF）。
迪基-福勒检验和增广迪基-福勒检验
ADF检验是DF检验的延伸，让我们先理解后者。考虑以下简单模型：
其中S(t)是随着时间变化的股票价格，ρ是一个系数，最后一项是一个误差项。虚假设是ρ=1。因为在虚假设下，S(t)和S(t-1)都是非平稳的，因此违反了中心极限定理，我们必须采用以下技巧。
迪基-富勒检验是以统计学家韦恩·富勒和大卫·迪基的名字命名的。ADF是这种测试对更复杂的时间序列模型的扩展。定义第一个差值和参数δ如下：
回归模型可以方便地重写为：
然后，迪基-福勒检验假设（严格来说是虚假设）：
DF检验背后的逻辑可以启发式地理解如下。如果S(t)是平稳的，它倾向于返回到某个常量平均值（或可能是确定性演变的趋势），这意味着更大的值可能跟随较小的值，反之亦然。这使得这个级数的当前值成为未来值的一个强有力的预测器。如果S(t)是非平稳的，未来的变化不依赖于当前值（例如，如果过程是随机行为）。
ADF测试遵循类似的程序，但它适用于一个更复杂、因此更完整的模型：
这里，α是一个实常数，β是时间趋势系数，δs是差异系数：
其中p是过程的滞后阶数，最后一项是误差。这里的测试统计量是：
其中分母为回归拟合的标准误差。在DF测试的情况下，我们期望γ0。
赫斯特指数
还有另一种方法来检验过程中均值回归或趋势行为的存在。这可以通过分析该序列的扩散速度并将其与随机行为的扩散速度进行比较来实现。这一过程将引出赫斯特指数的概念，正如我们将看到的，它与分形指数密切相关。
虽然赫斯特指数的应用可以在数学的多个领域中找到，但我们在这里只
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